Двойной маятник

Двойной маятник состоит из двух маятников скреплённых концом к концу

В физике и математике, в отрасли динамических систем, двойной маятник — это маятник с другим маятником, прикреплённым к его концу. Двойной маятник является простой физической системой, которая проявляет разнообразное динамическое поведение со значительной зависимостью от начальных условий. Движение маятника руководствуется связанными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для некоторых энергий его движение является хаотическим.

Анализ

Можно рассматривать несколько вариантов двойных маятников: два звена могут быть одинаковыми или иметь разную длину и вес; они могут быть простыми маятниками или физическими маятниками; движение может происходить в трёх измерениях или быть ограничено вертикальной плоскостью. В следующем анализе звенья избраны как одинаковые физические маятники длины $\ell$ и массы $m$, и их движение ограничено двумя измерениями.

Двойной физический маятник

У физического маятника масса распределена вдоль всей его длины. Если масса распределена равномерно, тогда центр масс каждого звена совпадает с его геометрическим центром, и звено имеет такой момент инерции $\textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}$ относительно этой точки.

Удобно использовать углы между каждым звеном и вертикалью как обобщённые координаты, определяя пространство конфигураций системы. Если положить начало координат декартовой системы координат в точке подвешивания первого маятника, тогда центр масс этого маятника находится в:

${\begin{cases}x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}\end{cases}}$

и центр масс другого в

${\begin{cases}x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).\end{cases}}$

Этой информации достаточно для того чтобы записать Лагранжиан.

Лагранжиан

Лагранжиан является разницей между кинетической энергией и потенциальной энергией:

${\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$

Первое слагаемое это линейная кинетическая энергия центра масс тел, второе слагаемое это вращательная кинетическая энергия центров масс каждого из стержней. Последнее слагаемое это потенциальная энергия тел в однородном гравитационном поле.

Подставив координаты и перегруппируя уравнения имеем

$L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).$

Движение двойного физического маятника (из численного интегрирования уравнения движения)

Траектории двойного маятника

При большой выдержке, двойной маятник проявляет хаотическое движение (отслежен с помощью светодиодов)

Обобщенные импульсы можно записать как

${\begin{cases}p_{\theta _{1}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]\\\\p_{\theta _{2}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].\end{cases}}$

Эти выражения можно преобразовать, чтобы получить

${\begin{cases}{{\dot {\theta }}_{1}}={\dfrac {6}{m\ell ^{2}}}{\dfrac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\\\{{\dot {\theta }}_{2}}={\dfrac {6}{m\ell ^{2}}}{\dfrac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{cases}}$

Уравнения движения, получаемые из уравнений Эйлера — Лагранжа, можно записать как

${\begin{cases}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]\\\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].\end{cases}}$

Последние четыре уравнения являются явными формулами для временной эволюций системы с заданным текущим состоянием. Невозможно продвинуться дальше и интегрировать эти уравнения аналитически, чтобы получить формулы для θ₁ и θ₂ как функции от времени. Однако возможно выполнить численное интегрирование, используя метод Рунге — Кутты или подобную технику.