Невидимый слон волатильности

22.03.2019 (c) Vytas Ramanchauskas, www.SpyTlt.com

Очень часто в качестве меры риска принимают дисперсию результата инвестиций. На мой взгляд, это не самый лучший и правильный подход, риск однозначно определяется просадками и метрика, основанная на просадках гораздо правильнее передает меру риска. Просадки, безусловно, связаны с дисперсией и бо́льшая дисперсия вызовет бо́льшие просадки, однако зависимость здесь сложная и нелинейная, впрочем, это тема отдельного большого разговора.

Пусть с оговорками, но дисперсию или, что привычнее СКО (среднеквадратичное отклонение, она же сигма, σ) и правда можно использовать в качестве некой, пусть неидеальной, меры риска. На этом предположении построен знаменитый коэффициент Шарпа, который предполагает деление матожидания доходности на СКО, обе величины имеют одинаковую размерность и в итоге получается безразмерный и весьма удобный коэффициент. С Шарпом связаны очень серьезные проблемы, статья об этом пока в процессе написания.

Если активом являются безрисковые облигации, то дисперсия их доходности нулевая и при вычислении их коэффициента Шарпа возникает деление на ноль. В оригинальном варианте коэффициента Шарпа предлагается вычитать из матожидания доходности безрисковую ставку, что позволяет достичь двух целей: во-первых, это вроде бы логично, зачем инвестировать во что-то рискованное, если этот рискованный актив имеет доходность ниже безрискового. Во-вторых, при таком раскладе в случае безрискового актива возникает неопределенность деления 0/0, что позволяет трактовать этот случай как душе угодно, Шарп безрискового актива не стремится более к бесконечности.

Тем не менее, особенно при сравнении активов, при вычислении коэффициента Шарпа не вычитают безрисковую доходность, по сути, это другой коэффициент, он, разумеется, выше и возможна путаница.

Допустим, мы имеем некоторую торговую систему, матожидание доходности которой оценивается в 20% годовых, а СКО 10%. Если считать коэффициент Шарпа без вычитания безрисковой доходности, то получится что коэффициент Шарпа для этой системы равен 2 (если не вычитать безрисковую доходность), что очень даже неплохо.

А теперь давайте задумаемся вот над каким аспектом. Когда заходит речь об инвестициях на сколь-нибудь долгий срок, неизбежно возникает вопрос инфляции. Это критически важный вопрос, ибо инфляция очень сильно влияет на конечный результат. Нередко в рассуждениях о долгосрочных инвестициях о ней "забывают" и очень напрасно. Если нарисовать график роста SP500 за последние 100 лет в логарифмическом масштабе получится почти идеальная прямая с несколькими "неприятностями", не слишком выбивающимися из общей тенденции.

Графики в логарифмическом масштабе, к слову, вообще умеют быть очень обманчивыми, то, что кажется маленькой неприятностью, может, при внимательном рассмотрении, оказаться просадкой на треть или даже половину. Если в графике SP500 учесть инфляцию, он по-прежнему будет подходить под линейную регрессию, вот только смотреться будет гораздо менее красиво, отклонения будут гораздо больше, а доходность ниже.

Любой инвестор, инвестирующий свои собственные деньги (или же инвестирующий чужие, но относящийся к ним ответственно) обязательно будет думать об инфляции. Собственно все долгосрочные планы инвестиций должны подразумевать учет инфляции, вопрос только как именно ее учитывать?

Проблема начинается с того, что нас интересует будущая инфляция (как и доходность), а не прошлая. А будущего мы не знаем. Традиционный подход состоит в том, чтобы посчитать среднюю инфляцию в прошлом за достаточно долгий период времени и принять, что она в будущем будет такая же. Положение здесь безвыходное, никакой другой разумной оценки мы верно сделать не можем. Отметим только, что инфляция явно кластеризуется: были периоды высокой инфляции, были периоды низкой и очень низкой, считать "среднюю температуру по больнице" занятие, как известно, неблагодарное.

Обычно принято считать, что средняя инфляция 3 или 4 процента, если вы будете считать с 1970го и захватите ужасные инфляционные 70ые, то будет около 4%, если их выбросите, то скорее 3%, то, что было до 1970го, вернее до 71го учитывать не очень логично, поскольку действовал золотой стандарт, диктовавший другие правила игры.

Попутно заметим, что правильно считать среднюю геометрическую инфляцию, а отнюдь не среднюю арифметическую, она будет выше. Но в эпоху более-менее умеренной инфляции разница невелика, с 1970го средняя арифметическая инфляция 4.034%, а средняя геометрическая - 4.083%.

Итак, мы прикинули доходность нашей торговой системы или актива, вычли 3 или 4 процента и получили ожидаемую истинную доходность. На долгосроке работает сложный процент, творящий Чудеса, оду которому кто только не воспевал и поэтому на достаточно большом сроке мы получаем фантастический результат, заверяя себя что он с учетом инфляции, то есть в сегодняшних ценах. Это упражнение, безусловно, увлекательное и даже полезное, на сайте запустился "Инвестиционный Калькулятор", который делает именно это: вы задаете доходность с учетом инфляции, начальную сумму, ежемесячные пополнения или снятия, количество лет и узнаете каким богатым человеком вы станете всего через полвека.

Проблемы долгосрочных инвестиций

Калькулятор этот на своей странице неслучайно имеет подзаголовок "Сказочная версия для сильных духом оптимистов". Что не так? Он неправильно работает? Нет, он считает все верно, настолько верно, насколько верны ваши оценки доходности и инфляции.

С подобного рода расчетами (в интернете и литературе подобных примеров вагон и маленькая тележка) есть четыре группы проблем.

1. Проблема доходности. Из того, что в прошлом акции или тем более какие-то торговые системы приносили известную доходность вообще говоря никак не следует что это будет продолжаться и в будущем. Доходность может снизиться (или повыситься, но это вас вряд ли расстроит). Например, дивидендная доходность американских акций в послевоенное время и раньше была сильно выше чем сейчас. Массовое ее падение произошло в 50ые-60ые годы.

2. Проблема инфляции. Мы не знаем какой она будет, а средняя оценка по прошлому может и не сработать. Инфляция склонна к кластеризации, при наступления затяжного периода высокой инфляции она будет уничтожать ваш капитал, а информация о том, что в среднем за 50 лет она была сильно ниже, вряд ли станет вам утешением. Более того, из ряда соображений, мне представляется что следующий настоящий кризис будет скорее инфляционного характера, противостоять ему гораздо сложнее.

3. Проблема шоков (черных лебедей). Талеб не устает повторять, и я с ним полностью согласен, что на долгосроке результат будет определяться не столько средними доходностями, сколько шоковыми событиями, которые почти наверняка за долгий промежуток времени произойдут. Черные лебеди могут быть и позитивными, но чаще, увы, они несут разрушения и беды.

4. Проблема волатильности. Даже если вы более-менее правильно оцените доходность и инфляцию, то в реальности график вашего капитала на долгосроке не будет красивой прямой линией как в теории и как в книжках, воспевающих чудо сложного процента. Дело в том, что при мультипликативной динамике капитала (геометрический подход, собственно только в этом случае возникает экспонента сложного процента) долгосрочные результаты очень нетривиальны если присутствует волатильность доходности. Это огромная и важная тема, в двух словах ее выразить невозможно, пока скажу лишь что у монеты две стороны и сложный процент творит чудеса как положительные (о чем все говорят), так и отрицательные, фантастически увеличивая итоговую волатильность (более того, увеличение дисперсии может привести к тому, что исходно прибыльный актив станет гарантированно убыточным, мир сложен и полон сюрпризов, все чаще неприятных). Влияние дисперсии на долгосрочные результаты очень велико, но при этом часто игнорируется. Подробнее почитать об этой проблеме можно здесь.

Невидимый Слон

Я планирую написать отдельно по каждой из проблем, они того стоят. Однако все эти проблемы вполне общеизвестные, но о проблеме волатильности часто не думают и не понимают какое феерическое влияние она оказывает на процесс, особенно при традиционном, геометрическом (или мультипликативном) управлении капиталом, особенно на долгих сроках.

Однако есть еще один нюанс (попадающий в проблему волатильности), который обычно упускают, но который тоже влияет на результат.

Помимо собственно инфляции, есть еще ВОЛАТИЛЬНОСТЬ инфляции. Инфляция имеет дисперсию, она не постоянная величина, она постоянно меняется! И если вас интересуют РЕАЛЬНЫЕ, а не номинальные доллары, если вы инвестируете свои кровные, вам не думать об этом нельзя.

Допустим, матожидание вашего актива R1 (выраженная как фактор, то есть 1.2 - это рост на 20%), СКО актива σ1, а инфляция R2 (тоже выраженная как фактор, меньше единицы, 0.97 - соответствует инфляции в 3%). Тогда настоящий годовой результат будет равен:
Rf = R1 * R2

Обычно учет инфляции к этому и сводят. И, кстати, в расчете коэффициента Шарпа, как мне кажется, логичнее вычитать не безрисковую ставку, а именно инфляцию!

Но теперь вспомним что у инфляции есть волатильность. Предположив, что инфляция и доходность несвязанные величины (на самом деле это не совсем так, но упростим себе жизнь), то надо понимать, что дисперсия произведения двух независимых случайных величин считается в нашем случае так:
D = σ12 * σ22 + R12*σ22 + R22*σ12

Эта формула ухудшает ситуацию, увеличивая общую дисперсию. Причем общая дисперсия увеличивается даже при повышении доходности вашего актива без повышения его дисперсии. Если не учитывать дисперсию инфляции, это однозначный плюс, без всяких минусов. Однако глядя на приведенную формулу вы увидите, что увеличение доходности приведет к увеличению дисперсии! Потому как квадрат матожидания доходности умножается на дисперсию инфляции.

Кстати, если считать в реальных (с учетом инфляции), а не номинальных, долларах вдруг окажется, что коэффициент Шарпа прекрасно применим и к безрисковым инструментам, с учетом инфляции у них появляется ненулевая дисперсия.

Более подробно о проблеме волатильности - в следующей серии ;).

А пока, забыв о плохом, можно поиграться с Калькулятором, он умеет вселять оптимизм и поднимать настроение. Правда, не учитывает нюансы.. Калькулятор для песси реалистов будет представлен в новой статье.

Вопросы и обсуждение - в телеграм-группе SpyTlt.