Об одной типичной ошибке при расчете коэффициента Шарпа

29.03.2019 (c) Vitas Ramanchauskas, www.SpyTlt.com

Мегапопулярный коэффициент Шарпа имеет смысл только на одинаковом таймфрейме. Как же тогда сравнивать системы, использующие разные таймфреймы? Традиционный подход состоит в приведении коэффициента Шарпа к годовому, что достигается путем домножения на √N, где N - среднее число сделок за год. Отмечу, что сделки не должны перекрываться во времени, поскольку в противном случае получается, что вы один и тот же капитал позволяете использовать многократно. Как учитывать перекрытия во времени и как делить капитал в этом случае - отдельная тема.

Почему происходит умножение на √N ? Так в случае интрадейной системы, торгующей каждый день, вам надо домножать примерно на 15. Объяснение обычно такое: матожидание суммы N случайных величин равно μ*N, дисперсия суммы тоже увеличивается в N раз (если величины независимы), среднеквадратичное отклонение (σ), будучи корнем из дисперсии, возрастает соответственно в √N а значит годовой коэффициент Шарпа вырастает в √N раз поскольку числитель в формуле Шарпа увеличивается в N раз, а знаменатель в √N раз.

И здесь есть ужасная ошибка, делающая все эти рассуждения неверными для большинства практических случаев. Они верны только в случае арифметического управления капиталом (аддитивная динамика), то есть когда на каждом шаге размер ставки не меняется, мы постоянно играем на одну и ту же сумму. При выигрыше у нас возникает избыток денег, который мы изымаем, при проигрыше - нам надо докладывать дополнительные деньги для восстановления размера ставки. При длительной серии проигрышей это может стать большой проблемой. При арифметической торговле итоговый результат в процентах есть простая сумма всех результатов (в процентах), и пересчет коэффициента Шарпа на годовой описанным выше способом вполне корректен. Капитал нарастает со временем линейно, эффекта сложного процента не возникает, распределение итогового результата имеет нормальное (гауссовское) распределение. Даже если результаты сделок сами распределны не нормально, при некоторых важных оговорках, в силу Центральной Предельной Теоремы, итоговый результат будет стремиться к нормальному.

Однако, на практике обычно используют геометрическое управление капиталом (мультипликативная динамика). Забавно, в исполнении этот подход проще - вы каждый раз ставите все имеющиеся деньги, или, как вариант, фиксированную их часть, выиграли - ставка выросла, проиграли - уменьшилась, ничего довносить не надо. И вот этот более простой подход оказывается гораздо сложнее с точки зрения математики, чем арифметический.

Итоговый результат будет равен произведению результатов, выраженных не в процентах, а в виде rate of return, во сколько раз увеличился капитал в результате сделки, 1.05 соответствует 5%. Все это намного усложняет математику и приводит к ряду веселых и не очень нюансов.

Классический пример, если есть две сделки одна +60%, а другая -40%, при арифметическом подходе результат будет +20%, правда в случае, если сначала случится убыточная сделка, вам придется откуда-то извне восстановить капитал, довнести деньги. А вот при геометрическом подходе результатом будет убыток -4% (1.6 * 0.6 = 0.96).

А теперь представим что для тех же двух сделок трейдер использовал только половину капитала. После выигрыша 60%результатом будет увеличение капитала в 1.3 раза, или на 30%. После потери 40% итогом будет +4%, прибыли, а не убытка!

В случае геометрического подхода крайне важен выбор плеча. Для любой последовательности сделок, среднее арифметическое которых положительное, существует плечо, позволяющее сделать итоговый результат при геометрическом подходе прибыльным, кроме того, есть однозначное значение плеча, при котором достигается максимум и, хуже того, при еще большем увеличении плеча, начиная с некоторого порога результат будет убыточный, сколь бы хорошей не была последовательность сделок, за исключением нереалистического случая, что убыточных сделок нет вообще.

Выбор оптимального плеча - огромная и сложная тема, Ральф Винс вам в помощь, хотя уже есть и варианты получше ;).

Геометрический подход как острый нож: он очень полезен и очень опасен. Основная польза (помимо необходимости довнесения денег и простоты использования) - это эффект сложного процента. При нарастании капитала растет и ставка, в итоге получается экспонента. О чудесах сложного процента и силе экспоненты написано бесчисленное количество примеров. В книгах все получается очень красиво, ведь даже если взять относительно невысокую доходность, но подождать достаточно долго, итог завораживает и шокирует. Экспонента на то и экспонента.

В реале на практике все сильно хуже. Я уже касался этой темы и готовлю статью в продолжение, сейчас же поговорим только о коэффициенте Шарпа и его приведении к годовому.

Помимо необходимости очень точно выбирать оптимальное плечо, геометрический подход приводит к очень сильному возрастанию дисперсии итогового результата и просадок на пути к нему. Причем итоговая дисперсия зависит не только от дисперсии сделок, но и от их матаожидания (неожиданно увеличение матожидания способствует нарастанию итоговой дисперсии). Итоговое распределение будет логнормальным, а не нормальным, - это абсолютно несимметричное распределение, у которого мода (пик распределения, какой результат встречается чаще всего), медиана и матожидание сильно отличаются. За счет толстого правого хвоста матожидание оказывается больше медианы, а медиана больше моды, а дисперсия очень велика (по той же причине).

На картинке ниже представлена гистограма итоговых результатов при долгосрочной торговле одной хорошей системы с использованием геометрического подхода. Дисперсия очень высокая. На картинку можно кликнуть.

В результате, при геометрическом подходе, обычно используемом на практике, пересчет коэффициента Шарпа путем домножения на √N в принципе неверно, поскольку дисперсия в этом случае нарастает намного сильнее.

Собственно, глядя на статистику систем на том же Collective2.com, легко увидеть, что интрадейные системы в целом имеют годовой Шарп существенно выше, чем более медленные системы. Но, увы, это всего лишь ошибка пересчета!! Реальный годовой коэффициент Шарпа у них существенно ниже.

Еще раз повторюсь: всегда, когда используется геометрический подход, вычислять годовой Шарп путем домножения на √N абсолютно неправильно и приводит к очень неправильным, завышенным результатам.

Кстати, если вы просто купили и держите актив, как ни странно - это геометрическое управление капиталом. Собственно поэтому на долгосроке и проявляется эффект экспоненциального роста (если повезет). Арифметическим бы управление капиталом было в этом случае, если б в конце каждого периода, взятого за основу, например, каждый день или каждую неделю, вы бы продавали излишки позиции, если актив подорожал, и, наоборот, докупали бы его, если подешевел, так, чтобы размер позиции в $ оставался бы неизменным.

О том, к чему приводит волатильность при геометрическом подходе для долгосрочных инвестиций - в следующей статье. О нестабильности определения коэффициента Шарпа и других метрик - здесь.


Вопросы и обсуждение - в телеграм-группе SpyTlt.